Альберт Борисов родился 8 ноября 1929 года в городе Приволжске (ныне Ивановской области).
Детство провёл в Карабихе Ярославской области, где отец работал директором техникума.
Затем с семьёй переехали в Московскую область. В годы войны работал на сенокосилке, тракторе, на лесоповале.
За 1947-1951 годы окончил Школу-студию МХАТ и в том же году был принят в труппу Киевского русского драматического театра им. Леси Украинки,
с 1964 по 1983 — актёр ГАБДТ им. М. Горького в Ленинграде, в 1984-1990 — актёр МХАТ, в 1989—1990 — ЦАТСА,
с 1991 года — руководитель театра «Антреприза Олега Борисова». С середины 1950-х годов начал сниматься в кино.